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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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8. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
c) $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} du$

Respuesta

Primero integramos la función \(\frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)}\). Para integrar \(\frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)}\), usamos el método de sustitución. Sea \(v = \sin(u)\), entonces \(dv = \cos(u) du\) o \(du = \frac{dv}{\cos(u)}\). La integral se transforma en: $\int \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} \, du = \int \frac{\cos(u)}{v^{2}} \cdot \frac{dv}{\cos(u)} = \int \frac{dv}{v^{2}} = \int v^{-2} \, dv = -v^{-1} + C$ Reemplazamos \(v\) por \(\sin(u)\): $\int \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} \, du = -\frac{1}{\sin(u)} + C$ Ahora aplicamos Barrow: $ \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{\cos (u)}{\sin^{2}(u)} \, du = \left[ -\frac{1}{\sin(u)} \right]_{\pi / 4}^{\pi / 2} $ $ \left[ -\frac{1}{\sin(u)} \right]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = -\frac{1}{\sin(\pi / 2)} - \left(-\frac{1}{\sin(\pi / 4)}\right) $ $ = -\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) $ $ = -1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) $


Si hacés esa cuenta en la calcu te va a dar $ = -1 + \sqrt{2} $, porque así le gusta más a la calcu escribirlo. No es que a vos te haya dado mal. Podés dejarlo como el resultado anterior o podés escribirlo como en la calcu. Cero drama!

Igual te muestro cómo es que se llega a eso:



$= -1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)$
$= -1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

en el segundo término, multiplicas numerador y denominador por $\sqrt{2}$, entonces te queda $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. No es para nada necesario que sepas hacerlo.

En fin, sigamos:
$= -1 + \sqrt{2}$
$ = \sqrt{2} - 1 $
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Avatar Bel 25 de junio 17:19
Juli, a donde se va el 2 del numerador en la fracción 2/raíz de 2?
Avatar Julieta Profesor 26 de junio 15:07
@Bel Hola Bel! 

Si hacés esa cuenta en la calcu te va a dar $ -1 + \sqrt{2} $, porque así le gusta más a la calcu escribirlo. No es que a vos te haya dado mal eh, ni que tengas que escribirlo de una forma en particular. Podés dejarlo como el resultado anterior o podés escribirlo como en la calcu. Cero drama!


Igual te muestro cómo es que se llega a eso:

$= -1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)$


$= -1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

en el segundo término, multiplicas numerador y denominador por $\sqrt{2}$, entonces te queda $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. No es para nada necesario que sepas hacerlo.

Avatar Magdalena 22 de junio 20:03
Holaa, perdon que joda, pero no entiendo que pasa con el -2 cuando estas recien obeteniendo la integral para aplicar Barrow
Avatar Julieta Profesor 24 de junio 12:20
@Magdalena Hola Magda! No jodés, tranqui :) 

Podés pensar como que el denominador de un denominador, es un numerador. O pensar simplemente que cuando tenés una fracción en el denominador de otra fracción, como $\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, lo que se hace es multiplicar por el inverso: $\frac{2}{\sqrt{2}}$.
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